Квадратне рівняння - одне з математичних рівнянь змінної, що має найбільшу ступінь двох.
Загальний вигляд квадратного рівняння або ПК такий:
сокира 2 + bx + c = 0
де x - змінна, a , b - коефіцієнт, c - константа. Значення а не дорівнює нулю.
Графічні форми
Якщо квадратне рівняння описано з точки зору декартових координат (x, y), воно сформує параболічний графік. Тому квадратичні рівняння також часто називають параболічними рівняннями .
Далі наведено приклад форми цього рівняння у вигляді параболічного графіка.
У загальному рівнянні значення a , b і c сильно впливають на результуючу параболічну картину.
Значення a визначає увігнуту або опуклу криву параболи. Якщо значення a> 0, тоді парабола відкриється (увігнута) . І навпаки, якщо a <0 , тоді парабола відкриється вниз (опукла) .
Значення b у рівнянні визначає вершину параболи . Іншими словами, визначте значення осі симетрії кривої, яке дорівнює x = - b / 2a .
Постійна величина c на графіку рівняння визначає точку перетину функції параболи на осі y . Далі подано параболічний графік із змінами постійного значення c .
Коріння квадратного рівняння (ПК)
Рішення квадратного рівняння називається кар-корінь квадратного рівняння .
Різні корені ПК
Типи коренів PK можна легко знайти, використовуючи загальну формулу D = b2 - 4ac із загального рівняння для квадратної ax2 + bx + c = 0.
Далі подано види коренів квадратних рівнянь.
1. Справжній корінь (D> 0)
Якщо значення P> 0 від ПК, це дасть справжні корені, але має різні корені. Іншими словами, x1 - це не те саме, що x2.
Приклад рівняння дійсного кореня (D> 0)
Знайдіть кореневий тип рівняння x2 + 4x + 2 = 0.
Селище:
a = 1; b = 4; і c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42-4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8
Отож, оскільки значення D> 0, корінь має справжній тип кореня.
2. Реальний корінь дорівнює x1 = x2 (D = 0)
Це тип кореня квадратного рівняння, що дає корені з однаковим значенням (x1 = x2).
Приклад дійсних коренів (D = 0)
Знайдіть значення кореня ПК 2х2 + 4х + 2 = 0.
Також читайте: Типи водних циклів (+ повне зображення та пояснення)Селище:
a = 2; b = 4; c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42-4 (2) (2)
D = 16-16
D = 0
Отож, оскільки значення D = 0, доведено, що коріння справжні та подвійні.
3. Уявні коріння / нереальні (D <0)
Якщо значення D <0, то корінь квадратного рівняння буде уявним / не дійсним.
Приклад уявних коренів (D <0) /
Знайдіть кореневий тип рівняння x2 + 2x + 4 = 0.
Селище:
a = 1; b = 2; c = 4
D = b2 - 4ac
D = 22-4 (1) (4)
D = 4-16
D = -12
Отже, оскільки значення D <0, корінь рівняння є нереальним або уявним коренем.
Знайдіть корені квадратного рівняння
Існує кілька методів, за допомогою яких можна знайти корені квадратного рівняння. Серед них факторизація, ідеальні квадрати та використання формули abc.
Далі описано кілька методів пошуку коренів рівняння.
1. Факторизація
Факторизація / факторинг - це метод пошуку коренів шляхом пошуку значення, яке, якщо його помножити, дасть інше значення.
Існує три форми квадратних рівнянь (PK) з різною факторизацією коренів, а саме:
| Ні. | Форма рівняння | Корінь-корінь факторизації |
| 1 | x 2 + 2xy + y 2 = 0 | (x + y) 2 = 0 |
| 2 | x 2 - 2xy + y 2 = 0 | (х - у) 2 = 0 |
| 3 | x 2 - y 2 = 0 | (x + y) (x - y) = 0 |
Далі наведено приклад проблеми використання методу факторизації в квадратних рівняннях.
Розв’яжіть квадратне рівняння 5x 2 + 13x + 6 = 0, використовуючи метод факторизації.
Селище:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(5x + 3) (x + 2) = 0
5x = -3 або x = -2
Отже, рішення буде x = -3/5 або x = -2
2. Ідеальні квадрати
Ідеально квадратична форма є квадратним рівнянням , що дає раціональні числа .
Результати ідеального квадратного рівняння зазвичай використовують таку формулу:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
Загальне рішення ідеального квадратного рівняння таке:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
з (x + p) 2 = q, тоді:
(x + p) 2 = q
x + p = ± q
x = -p ± q
Далі наведено приклад проблеми використання методу ідеального рівняння.
Розв’яжіть рівняння x2 + 6x + 5 = 0, використовуючи ідеальний метод квадратного рівняння!
Селище:
x2 + 6x +5 = 0
x2 + 6x = -5
Наступним кроком є додавання одного числа з правого та лівого боків, щоб воно могло змінитися на ідеальний квадрат.
x2 + 6x + 9 = -5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x + 3) 2 = 4
(x + 3) = √4
x = 3 ± 2
Отже, кінцевий результат - x = -1 або x = -5
Читайте також: Визначення та відмінність омонімів, омофонів та гомографів3. Квадратні формули ABC
Формула abc є альтернативним вибором, коли квадратне рівняння неможливо розв’язати факторизацією або досконалими квадратними методами.
Далі наведено формулу abc для квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0.
Далі наведено приклад розв’язання задачі квадратного рівняння за допомогою формули abc .
Розв’яжіть рівняння x2 + 4x - 12 = 0, використовуючи метод формули abc!
Селище:
x2 + 4x - 12 = 0
де a = 1, b = 4, c = -12
Побудова нового квадратного рівняння
Якщо раніше ми навчилися знаходити корені рівняння, то тепер ми навчимося складати квадратне рівняння з тих коренів, які були відомі раніше.
Ось декілька способів створити новий ПК.
1. Побудуйте рівняння, коли відомі корені
Якщо рівняння має корені x1 та x2, тоді рівняння для цих коренів можна виразити через
(x- x 1 ) (x- x 2 ) = 0
Приклад:
Знайдіть квадратне рівняння, де корені знаходяться між -2 і 3.
Селище:
x 1 = -2 та x 2 = 3
(x - (- 2)) (x-3) = 0
(x + 2) (x + 3)
x2-3x + 2x-6 = 0
x2-x-6 = 0
Отже, результат рівняння для цих коренів дорівнює x2-x-6 = 0
2. Побудуйте квадратне рівняння, якщо ви знаєте кількість і добуток коренів
Якщо відомі корені квадратного рівняння із числом та часом x1 та x2, то квадратне рівняння можна перетворити у такий вигляд.
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
Приклад:
Знайдіть квадратне рівняння з коренями 3 і 1/2.
Селище:
x 1 = 3 і x 2 = -1/2
x 1+ x 2 = 3 -1/2 = 6/2 - 1/2 = 5/2
x 1. x 2 = 3 (-1/2) = -3/2
Отже, квадратним рівнянням є:
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (кожна сторона помножена на 2)
2x2-5x-3 = 0
Отже, квадратне рівняння для коренів 3 і 1/2 дорівнює 2х2-5х-3 = 0.
