Математична індукція - це дедуктивний метод, що використовується для доведення істинних чи хибних тверджень.
Ви, мабуть, вивчали індукцію математики в середній школі. Як ми знаємо, математична індукція є продовженням математичної логіки.
У своєму застосуванні математична логіка використовується для вивчення хибних чи істинних тверджень, еквівалентів чи заперечень та висновків.
Основні поняття
Математична індукція - це дедуктивний метод, який використовується для доведення істинних чи хибних тверджень.
У процесі робляться висновки на основі обґрунтованості загальноприйнятих тверджень, щоб конкретні твердження також могли бути правдивими. Крім того, змінна в математичній індукції також вважається членом набору натуральних чисел.
В основному, є три етапи математичної індукції для того, щоб довести, чи може формула чи твердження бути істинною чи навпаки.
Ці кроки:
- Доведіть, що твердження або формула відповідає дійсності при n = 1.
- Припустимо, що твердження або формула відповідає дійсності для n = k.
- Доведіть, що твердження або формула відповідають дійсності для n = k + 1.
З наведених вище кроків ми можемо припустити, що твердження повинно перевірятися для n = k та n = k + 1.
Типи математичної індукції
Існують різні види математичних задач, які можна вирішити за допомогою математичної індукції. Отже, математичну індукцію можна розділити на три типи, а саме на ряди, поділ та нерівність.
1. Серія
У цьому типі рядів, як правило, задача математичної індукції знаходиться у формі послідовного додавання.
Отже, в задачі на ряд істину потрібно доводити в першому доданку, k-члені та th-члені (k + 1).
2. Відділ
Види математичної індукції поділу можна знайти в різних задачах, що використовують такі речення:
- a ділиться на b
- b коефіцієнт a
- b ділить a
- кратні b
Ці чотири ознаки вказують на те, що твердження може бути вирішене за допомогою математичної індукції типу поділу.
Варто пам’ятати, що якщо число a ділиться на b, тоді a = bm, де m - ціле число.
3. Нерівність
Тип нерівності позначається знаком, більшим або меншим за той, що вказаний у твердженні.
Є властивості, які часто використовуються при розв’язуванні типів нерівностей математичної індукції. Ці характеристики:
- a> b> c ⇒ a> c або a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc або a> b і c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c або a> b ⇒ a + c> b + c
Приклад задач на математичну індукцію
Далі подано приклад задачі, щоб ви могли краще зрозуміти, як розв’язати доказ формули за допомогою математичної індукції.
Рядок
Приклад 1
Доведіть 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1) для кожного n натуральних чисел.
Відповідь:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Буде доведено, що n = (n) справедливий для кожного n ∈ N
Перший крок :
Буде показано, що n = (1) є правильним
2 = 1 (1 + 1)
Отже, P (1) є правильним
Другий крок :
Припустимо, що n = (k) є істинним, тобто
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Третій крок
Буде показано, що n = (k + 1) також відповідає дійсності, тобто
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
З припущень:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Додаємо обидві сторони за допомогою u k + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Отже, n = (k + 1) є правильним
Приклад 2
Використовуйте математичну індукцію для доведення рівнянь
Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 для всіх цілих чисел n ≥ 1.
Відповідь:
Перший крок :Буде показано, що n = (1) є правильним
S1 = 1 = 12
Другий крок
Припустимо, що n = (k) є істинним, тобто
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Третій крок
Доведіть, що n = (k + 1) є істинним
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
пам’ятайте, що 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
тоді
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
тоді вищевказане рівняння доведено
Приклад 3
Доведіть, що 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 є істинним для кожного n натуральних чисел
Відповідь:
Перший крок :
Буде показано, що n = (1) є правильним
1 = 12
Отже, P (1) є правильним
Другий крок :
Припустимо, що n = (k) є істинним, тобто
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Третій крок:
Буде показано, що n = (k + 1) також відповідає дійсності, тобто
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
З припущень:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Додаємо обидві сторони за допомогою u k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Отже, n = (k + 1) також відповідає дійсності
Відділ
Приклад 4
Доведіть, що n3 + 2n ділиться на 3 для кожного n натуральних чисел
Відповідь:
Перший крок :
Буде показано, що n = (1) є правильним
13 + 2,1 = 3 = 3,1
Отже, n = (1) є правильним
Читайте також: Розуміння та характеристики комуністичної ідеології + прикладиДругий крок :
Припустимо, що n = (k) є істинним, тобто
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Третій крок:
Буде показано, що n = (k + 1) також відповідає дійсності, тобто
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Оскільки m - ціле число, а k - натуральне число, (m + k2 + k + 1) - ціле число.
Нехай p = (m + k2 + k + 1), тоді
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, де p ∈ ZZ
Отже, n = (k + 1) є правильним
Нерівність
Приклад 5
Доведіть, що для кожного натурального числа n ≥ 2 справедливо
3n> 1 + 2n
Відповідь:
Перший крок :
Буде показано, що n = (2) є правильним
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Отже, P (1) є правильним
Другий крок :
Припустимо, що n = (k) є істинним, тобто
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Третій крок:
Буде показано, що n = (k + 1) також відповідає дійсності, тобто
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (оскільки 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (оскільки 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Отже, n = (k + 1) також відповідає дійсності
Приклад 6
Доведіть, що для кожного натурального числа n ≥ 4 справедливо
(n + 1)! > 3н
Відповідь:
Перший крок :
Буде показано, що n = (4) є правильним
(4 + 1)! > 34
ліва сторона: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
права сторона: 34 = 81
Отже, n = (4) є правильним
Другий крок :
Припустимо, що n = (k) є істинним, тобто
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Третій крок:
Буде показано, що n = (k + 1) також відповідає дійсності, тобто
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (оскільки (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (оскільки k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Отже, n = (k + 1) також відповідає дійсності
